大多数人在高中，或者大学低年级，都上过一门课《线性代数》。这门课其实是教矩阵。

刚学的时候，还蛮简单的，矩阵加法就是相同位置的数字加一下。
\(\begin{pmatrix} 2&1\\\ 4&3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&2\\\ 1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&3\\\ 5&3 \end{pmatrix}\)
矩阵减法也类似。
矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。
\(2 \times \begin{pmatrix} 2&1\\\ 4&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&2\\\ 8&6 \end{pmatrix}\)
但是，等到矩阵乘以矩阵的时候，一切就不一样了。
\(\begin{pmatrix} 2&1\\\ 4&3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&2\\\ 1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&4\\\ 7&8 \end{pmatrix}\)
这个结果是怎么算出来的？
教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。

也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。
怎么会有这么奇怪的规则？
我一直没理解这个规则的含义，导致《线性代数》这门课就没学懂。研究生时发现，线性代数是向量计算的基础，很多重要的数学模型都要用到向量计算，所以我做不了复杂模型。这一直让我有点伤心。
前些日子，受到一篇文章的启发，我终于想通了，矩阵乘法到底是什么东西。关键就是一句话，矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。
下面是一组线性方程式。
\(\begin{cases} 2x+y=3\\ 4x+3y=7 \end{cases}\)
矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。
\(\begin{pmatrix} 2&1\\\ 4&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\\ 7 \end{pmatrix}\)
老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与 x 和 y 的乘积之和，等于3。不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。
下面才是严格的证明。有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。
\(\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=y_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=y_2 \end{cases}\)
\(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\\ y_2 \end{pmatrix}\)
x 和 t 的关系如下。
\(\begin{cases} b_{11}t_1+b_{12}t_2=x_1\\ b_{21}t_1+b_{22}t_2=x_2 \end{cases}\)
\(\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\\ b_{21}&b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1\\\ t_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\\ x_2 \end{pmatrix}\)
有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。
\(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\\ b_{21}&b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1\\\ t_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_1\\\ y_2 \end{pmatrix}\)
从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。
\(\begin{cases} a_{11}(b_{11}t_1+b_{12}t_2)+a_{12}(b_{21}t_1+b_{22}t_2)=y_1\\ a_{21}(b_{11}t_1+b_{12}t_2)+a_{22}(b_{21}t_1+b_{22}t_2)=y_2 \end{cases}\)
上面的方程组可以整理成下面的形式。
\(\begin{cases} (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})t_1+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})t_2=y_1\\ (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})t_1+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})t_2=y_2 \end{cases}\)
\(\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1\\\ t_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_1\\\ y_2 \end{pmatrix}\)
最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。
\(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\\ b_{21}&b_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}\)
矩阵乘法的计算规则，从而得到证明。