背景 一些政府部门,企事业单位有政策,可以通过夫妻分居事由,解决户口问题. 下面说说具体步骤.
解 首先, 易知(不严格地), 在大于2的整数中任性选一个数,则其为偶数的概率应该是 \(P_1=\frac{1}{2}\) 而在大于2的整数中任选两个数,则它们有公约数2(即两个数均为偶数)的概率应该是 \(P_2=P_1P_1=\frac{1}{2^2}\) 那么在大于2的整数中任选两个数,则它们没有公约数2的概率就是 \(P_{31}=1-P_2=1-\frac{1}{2^2}\) 同理,在大于2的整数中任选两个数,则它们没有公约数3的概率是 \(P_{32}=1-\frac{1}{3^2}\) 在大于2的整数中任选两个数,则它们没有公约数5的概率是 \(P_{33}=1-\frac{1}{5^2}\) 以此类推,在大于2的整数中任选两个数,则它们没有第k个素数公约数\(p_k\)的概率是 \(P_{3k}=1-\frac{1}{p_k^2}\) 而要是这两个数互质,则所有素数都应该不是它们的公约数.这样,它们除了1外再无公约数,因此,在大于2的整数中任选两个数,则它们互质的概率是 \(P=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{1}{p_k^2})\) 其中\(p_k\)为第k个素数. 而由Euler乘积公式可知 \(\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{1}{p_k^s})^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\zeta(s)\) 因此 \(P=(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2})^{-1} =\frac{6}{\pi^2}\) 这一步可以看我讲解Basel Problem的文章 证明 \(\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} \tag{1}\) 两边同时乘以\(2^{-s}\) \(\frac{1}{2^s}\zeta(s)= \frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\cdots \tag{2}\) (1)-(2)得 \((1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\cdots\) 可以看出,操作后无穷和中含有素因子2的项被消去了,如法炮制 \((1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\cdots\) 含有素因子3的项被消去,以此类推,进行无穷次类似操作 \(\cdots(1-\frac{1}{p_k^s})\cdots(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=1\) \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-p_k^{-s})^{-1}\)
原作者: 3Blue1Brown
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